Okay, dann begrüße ich Sie heute zur Vorlesung im Vorstudium. Ich bin nicht der Herr Prof. Knapner. Mein Name ist Jens Oberlander. Ich bin ein Doktorand von Herrn Knapner und ich vertrete ihn diese und nächste Woche in der Vorlesung.

Falls ich zu schnell sein sollte oder irgendwelche Fragen auftreten, einfach mittendrin stellen, dann versuche ich, die so gut es geht zu beantworten.

Aber wie sieht es jetzt aus? Was ist der Stoff der Vorlesungen bislang? Es ging um die Einführung der natürlichen Zahlen, um gewisse Eigenschaften von Ihnen und dann um das Beweisprinzip der vollständigen Induktion,

mit dem man unendlich viele Aussagen auf einmal beweisen kann. Und zwar abzählbar unendlich viele, also so viele wie es natürliche Zahlen gibt.

Ein weiteres Beispiel dieser natürlichen Zahlen und ihrer Eigenschaften ist die Primfaktorzerlegung. Die sollte ja hinreichend bekannt sein. Aber zunächst mal einige einführende Bemerkungen.

Was ist überhaupt ein Teiler und eine Primzahl? Dazu Definition 4,6. Wenn man zwei natürliche Zahlen N und M hat, dann sagt man, M ist ein Teiler von N, wenn es eine weitere natürliche Zahl gibt,

sodass ich N schreiben kann als Produkt von L und M. Also wenn N einfach ein Vielfaches von M ist. In Zeichen kann man das so schreiben, M, kreativ nach unten, N.

Wenn man den Begriff des Teilers definiert hat, dann kann man ganz natürlich den Begriff einer Primzahl definieren. Sagt man, wenn eine natürliche Zahl größer als zwei hat,

dann ist es eine Primzahl, oder sie heißt Prim, wenn P nur genau die Teile eins und P hat. Also zwei verschiedene Teile, eins und die Zahl selbst.

Genau, und wenn man dann eine Primzahl hat, dann kann man auch eine Primfaktorzerlegung für jede natürliche Zahl definieren. Und zwar sagt man, wenn man nicht unbedingt verschiedene Primzahlen hat,

also die können auch alle gleich sein, wie z.B. P1 gleich P2 gleich 2 und so weiter, dann definiert man das Produkt dieser ganzen Primzahlen als N.

Und diese Schreibweise N ist gleich das Produkt von I gleich 1 bis K, der Pi, mit diesem großen Pi für das Produkt, das ist eine Primfaktorzerlegung von N,

bezüglich dieser Primzahlen Pi. Und das sind dann auch die Primfaktoren. Soweit so bekannt. Was sind einige Bemerkungen dafür?

Naja, man kann sofort sehen aus der Definition, 1 ist ein Teiler jeder natürlichen Zahl und die natürliche Zahl selbst ist auch ein Teiler.

Das bekommt man einfach, indem man hier L gleich 1 und M gleich N oder umgekehrt L gleich N und M gleich 1 setzt.

Weiterhin sofort ersichtlich ist auch, wenn M ein Teiler von N ist, dann ist M kleiner gleich als N.

Und weiterhin kann man noch sagen, eine Primzahl ist genau dann ein Primfaktor von N, wenn die Zahl, P die natürliche Zahl N teilt.

Genau, ja, man hat jetzt also die Primfaktorzerlegung definiert und der Satz, der jetzt kommt, der sollte auch bekannt sein,

das ist der sogenannte Fundamentalsatz der Zahlentheorie, der besagt, jeder natürliche Zahl größer gleich 2,

besitzt eine Primfaktorzerlegung und diese Primfaktorzerlegung ist bis auf Umordnung der Primfaktoren eindeutig.

Ok, was gilt es beim Beweis zu berücksichtigen? Naja, hier stecken in diesem Satz eigentlich zwei Aussagen drin für eine beliebige natürliche Zahl.

Zum einen steht da drin, es gibt eine Primfaktorzerlegung und zum anderen ist sie eindeutig.

Und das ist eine Struktur, die wird sich in einer Vielzahl von mathematischen Beweisen und Strukturen wiederfinden.

Man hat die Existenz eines Objekts und man hat die Eindeutigkeit dieses Objekts.

Das sind zwei unabhängige Sachen, ihr kennt es oder Sie kennen das vielleicht schon aus den Funktionen, aus den Abbildungen,

da gibt es die Injektivität, das entspricht sozusagen einer Eindeutigkeit und die Subjektivität, das entspricht einer Existenz.

Ok, aber zum Beweis von Satz 4.8, wie gesagt es gilt die Existenz zu beweisen und es gibt die Eindeutigkeit zu beweisen.

Ich beweise hier jetzt nur mal die Existenz, die Eindeutigkeit finden Sie dann im Skript zum Nachlesen, aber die Beweisidee ist ähnlich zu der Existenz.

Und die Beweistechnik, die wir hier anwenden, ist ein Beweis durch Widerspruch.

Wir nehmen also an, es gibt eine natürliche Zahl, die keine Primfaktorzellegen besitzt und führen das zu einem Widerspruch.

Dazu definieren wir die Menge M, das sind alle natürlichen Zahlen, größer gleich zwei, mit der Eigenschaft, N besitzt eine Primfaktorzellegung.

Ok, was wollen wir für diese Menge M jetzt zeigen? Für diese Menge wollen wir zeigen, dass sie gleich der Menge der natürlichen Zahlen ist.

Und hier kommt auch wieder das Kapitel vor, die vollständige Inuktion. Wir können eben mit einer vollständigen Inuktion zeigen, dass eine Menge gleich der Menge der natürlichen Zahlen ist, so wie hier.

Ok, was nehmen wir jetzt an? Wir nehmen jetzt also an, M ist ungleich der Menge der natürlichen Zahlen, größer gleich zwei.

Was es also irgendeiner dieser Zahlen gibt, die keine Primfaktorzellegung besitzt?

Dazu definieren wir die Menge H, das ist die Menge aller natürlichen Zahlen, größer gleich zwei, ohne die Menge M, ohne diese Zahl, die eine Primfaktorzellegung gibt.

Und das ist jetzt ungleich der Lernmenge. Ok, was haben wir jetzt? Wir haben jetzt eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, die nichtgleich der Lernmenge ist.

In der Vorlesung gab es vorher schon einen Satz, den Satz 4.1, den sogenannten Wohlordnungssatz für natürliche Zahlen.

Der greift jetzt für diese Menge und der besagt eine nichtleere Teilmenge, der natürlichen Zahlen besitzt, ein minimales Element, ein Minimum.

Das heißt, H besitzt nach Satz, das war die Nummer 4.1, ein Minimum und dieses Minimum bezeichne ich mal mit N unter Strich.

Ok, was wissen wir jetzt für diese natürliche Zahl N unter Strich? Wir wissen, sie besitzt keine Primfaktorzellegung.

N besitzt keine Primfaktorzellegung und insbesondere, da N keine Primfaktorzellegung besitzt, kann N keine Primzahl sein.

Denn eine Primzahl besitzt offensichtlich eine Primfaktorzellegung, das ganze Produkt ist dann nur ein Faktor und das ist die Zahl selbst.

Ok, wir haben also jetzt eine natürliche Zahl, die nicht Primzahl ist. Das bedeutet jetzt, ich kann sie in Teile aufteilen.

Das heißt, es gibt einen Teiler N Element N mit N kleiner N quer, sodass was gilt, sodass ich schreiben kann, N quer ist gleich N mal M,

für eben dieses N und M aus N mit N und M echt kleiner als N quer.

Genau, wir können also dieses N quer aufteilen.

Naja, jetzt wissen wir, die natürlichen Zahlen N und M, die wir jetzt ins Spiel gebracht haben, die sind kleiner als N unter Strich.

N unter Strich war aber gerade das Minimum der Menge der natürlichen Zahlen, die keine Primfaktorzellegung hat.

Heißt im Schluss, für N und M muss es eine Primfaktorzellegung geben, ansonsten hätten wir hier schon den Widerspruch zur Minimumseigenschaft.